Tổng Hợp

2 Ma trận nghịch đảo, Phương trình ma trận và Hệ phương trình tuyến tính

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.05 MB, 117 trang )

2.2 Ma trận nghịch đảo, Phương trình ma trận và Hệ phương

trình tuyến tính

45

>> inv(A)

ans =

-4.0000

-1.0000

6.0000

-3.0000

-1.0000

4.0000

2.0000

-3.0000

Ví dụ 2.2.5. Cho ma trận A như sau:

8 + 3i 9 − i 3 + 2i

 9 − 3i

6

5 − 2i 

1 + 2i 1 − 2i 10 + i

Ma trận nghịch đảo của A là

>> inv(A)

ans =

-0.0126 – 0.0995i

0.0990 + 0.1053i

-0.0469 + 0.0264i

0.0515 + 0.1266i

-0.0075 – 0.1357i

0.0465 – 0.0155i

Ví dụ 2.2.6. Cho ma trận B như sau,

sẽ trả ra các giá trị như sau:

3 4

 −5 2

2 1

-0.0686 – 0.0138i

0.0235 + 0.0126i

0.1001 + 0.0085i

B không khả nghịch khi đó hàm inv

6

16 

−1

inv(B)

Warning: Matrix is singular to working precision.

ans =

Inf

Inf

Inf

Inf

Inf

Inf

Inf

Inf

Inf

46

Đại số tuyến tính

BÀI TẬP

1. Tự tạo ngẫu nhiên ma trận A là ma trận vuông 25 phần tử thuộc C .

a. Kiểm tra ma trận A có khả nghịch hay không, nếu không thì cho

lại ma trận ngẫu nhiên khác.

b. Xác định ma trận nghịch đảo của A bằng các phép biến đổi sơ

cấp trên dòng (làm từng bước).

2. Tự tạo ma trận ngẫu nhiên A là ma trận vuông 100 phần tử thuộc C.

a. Kiểm tra ma trận A có khả nghịch hay không, nếu không thì cho

lại ma trận ngẫu nhiên khác.

b. Xác định ma trận nghịch đảo của A bằng các phép biến đổi sơ

cấp trên dòng (không cần làm từng bước).

c. Dùng hàm inv hoặc phép toán mũ -1 để xác định ma trận nghịch

đảo của A.

3. Cho ma trận bất kì không khả nghịch 100 phần tử. Dùng các phép biến

đổi sơ cấp trên dòng để kiểm tra tính không khả nghịch của ma trận

đó.

4. Cho các cặp ma trận A,B theo thứ tự. Xác định A−1 B −1 , (AB)−1 , B −1 A−1

a.

[

b.

2.2.2

1 2

4 −1

Xem Thêm :   Tìm hiểu chi tiết về các cách bán đất nhanh nhất

Xem thêm :  Cách đấu loa Sub vào Ampli 2 kênh CHUẨN CHỈ từ A – Z cho Newbie

] [

,

2 −3

−4 1

]

 

2

3−i

1

1 2 2i + 1

 i−3

1

0  , 0 1

2 

1

2

i−1

3 1 i+1

Ma trận giả nghịch đảo

Cho ma trận A kích thước m × n. Ma trận B là ma trận giả đảo của A là

ma trận thỏa 4 tính chất sau:

1. ABA = A

2.2 Ma trận nghịch đảo, Phương trình ma trận và Hệ phương

trình tuyến tính

47

2. BAB = B

3. (AB)∗ = AB

4. (BA)∗ = BA

Trong đó ma trận AB và BA là ma trận Hermit, tức là ma trận phức có tính

đối xứng liên hợp.

Ghi chú 2.2.7. Trường hợp đặt biệt:

1. Nếu A∗ A khả nghịch thì ma trận B = (A∗ A)−1 A∗ là ma trận giả đảo

trái của A.

2. Nếu AA∗ khả nghịch thì ma trận B = A∗ (AA∗ )−1 là ma trận giả đảo

phải của A.

Ví dụ 2.2.8. Ma trận Hermit Cho ma trận A như sau

[

]

7

5+i

5−i

9

Ma trận chuyển vị của A là

>> A’

ans =

7.0000

5.0000 – 1.0000i

5.0000 + 1.0000i

9.0000

Ta nhận thấy rằng ma trận chuyển vị của A cũng bằng chính A do vậy ma

trận A chính là ma trận Hermit.

Tiếp theo, ta sẽ dùng Matlap để tính toán ma trận giả đảo của A. Ta sử

dụng hàm pinv(A)

Ví dụ 2.2.9. Cho ma trận A như sau

[

]

2 4 3

5 1 7

Sau đó dùng hàm pinv để tính ma trận giả đảo của A và kiểm tra dựa vào

định nghĩa.

48

Đại số tuyến tính

pinv(A)

ans =

-0.0263

0.2789

-0.0211

0.0789

-0.1168

0.1032

>> A*pinv(A)*A

ans =

2.0000

5.0000

4.0000

1.0000

3.0000

7.0000

BÀI TẬP

1. Cho ma trận A như sau:

81 + 7i

 91

 13 + 8i

 91 + 9i

63 + 7i

10 + 8i 16 + 7i 14 + 8i

28 + 7i

97

42 + 7i

55 + 4i 96 + 3i 92 + 3i

96 + 7i

49

79 + 10i

96 + 2i 80 + i

96

Xác định ma trận giả đảo trái hoặc giả đảo phải (nếu có) của A theo

2 cách:

– Sử dụng hàm pinv. Cho biết ma trận giả đảo trên là ma trận giả

đảo trái hay phải (nếu có).

– Không sử dụng hàm pinv.

2. (*)Cho ma trận A ∈ M4x7 (R) với các phần tử bất kì.

Xem Thêm :   Tuyển tập thơ về Hoa Sen hay nhất, ý nghĩa nhất được chọn lọc

Xem thêm :  BẢNG GIÁ XE TẢI MITSUBISHI FUSO CẬP NHẬT MỚI NHẤT 08/2021

a. Kiểm tra tính nghịch đảo của B = AAT và C = AT A.

b. Nếu B không khả nghịch tìm ma trận giả đảo của B (nếu có).

(Nếu B khả nghịch ta làm tương tự với C).

c. (**)Nếu sử dụng hàm pinv thì cho biết ma trận đó là giả đảo trái

hay giả đảo phải.

d. Thực hành lại cái câu (a), (b), (c) với tính toán symbolic.

2.2 Ma trận nghịch đảo, Phương trình ma trận và Hệ phương

trình tuyến tính

49

2.2.3

Giải phương trình ma trận

Định nghĩa 2.2.10. Cho phương trình AX=B. Trong đó A là ma trận mxn,

B là ma trận mxk và X là ẩn. Ta cần tìm X.

Ghi chú 2.2.11. Nếu A là ma trận vuông tức m=n và khả nghịch .Ta dùng

nghịch đảo của A.

Trong Matlab ta sử dụng phép toán gọi là phép chia trái hoặc hàm mldivide(A,b).

Ví dụ 2.2.12. Cho phương trình ma trận như trên.

A=[2 4 3;5 1 7;2 3 5];b=[2 5;4 1;3 7];

>> X=Ab

X =

0.0270

0.0811

0.5405

-2.2703

1.1892

1.5946

Đối với phương trình XA=b, ta dùng pháp toán chia phải / hoặc hàm mrdivide(b,A).

Để giải phương trình ma trận trong Matlab,ta chỉ sử dụng hàm linsolve(A,b,opts).

Trong đó opts là tham số chỉ tính chất của ma trận A. Điều này rất quan

trọng vì nó ảnh hưởng đến tốc độ tính toán của hàm.

Ví dụ 2.2.13. Nếu A là ma trận đối xứng, ta nhập vào câu lệnh như sau

linsolve(A,b,SYM). Sau đây là bảng các giá trị của tham số opts.

50

Đại số tuyến tính

Bảng 2.2.1: Giá trị của tham số opts

Giá trị tham số Thuộc tính của ma trận A

LT

Ma trận tam giác dưới

UT

Ma trận tam giác trên

UHESS

Ma trận Hessenberg trên

SYM

Ma trận đối xứng

POSDEF

Ma trận xác định dương

RECT

Ma trận chữ nhật

TRANSA

Ma trận đối xứng liên hợp

BÀI TẬP

1. Cho ma trận A như sau rand(50,50). Tìm ma trận X thỏa :

a. 12X − 2.5A = I50

b. XA50 = B. Với B là ma trận ngẫu nhiên khác A.

2. Cho ma trận A ∈ M2x3 (C), ma trận B ∈ M2x2 (C). Tìm ma trận X

Xem Thêm :   Hướng dẫn sử dụng Pen Tool trong PS.

Xem thêm :  Download 60+ Mẫu Slide Powerpoint Đơn Giản Mà Đẹp Năm 2021, Những Mẫu Slide Powerpoint Đơn Giản Mà Đẹp

thỏa AX=B.

3. Cho ma trận A,B ∈ M100x70 (C). Tìm ma trận X thỏa:

a. 100A + 10X = B

b. XA = B

4. Giải phương trình ma trận sau:

a.

13 −8 −12

1 2 3

X  12 −7 −12  =  4 5 6 

6 −4 −5

7 8 9

b.

1−i

2 + i 108 − i

1 −1 −1

0 0 1

 12 − 7i

9

22 − 5i  X  1 1

1  =  1 1 0 

3i

5 + 10i −25

1 1 −1

0 1 −1

2.3 Hệ phương trình tuyến tính

2.3

51

Hệ phương trình tuyến tính

2.3.1

Đưa về dạng ma trận

Để giải hệ phương trình tuyến tính, ta đưa về dạng ma trận với b là ma trận

m × 1. Ngoài các phương pháp trên, ta có thể sử dụng hàm rref([A b]) để

đưa ma trận về dạng bậc thang rút gọn.

Ví dụ 2.3.1. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

 x1 + 7×2 − 2×3 = 21

2×1 + 3×2 + 7×3 = 2

x1 + 8×2 + 2×3 = −1

Ta đưa phương trình trên

1 7

A= 2 3

1 8

về ma trận A, vec tơ x và b có dạng:

−2

x1

21

7  , x =  x2  , b =  2 

2

x3

−1

Sau đó giải phương trình ma trận : Ax=b.

Ghi chú 2.3.2. Trước khi giải phương trình trên, ta cần xem xét phương

trình này có nghiệm hay không bằng cách so sánh hạng của ma trận A và

A’=[A B].

Ví dụ 2.3.3. Cho phương

2

 5

2

trình sau:

4 3

2 5

1 7  X =  4 1 

3 7

3 5

>> A=[2 4 3;5 1 7;2 3 5];b=[2;4;3];

>> rank(A)

ans =

3

52

Đại số tuyến tính

>> rank([A b])

ans =

3

Ta nhận thấy rank(A)=rank(A’)=m do vậy phương trình trên có nghiệm duy

nhất.

2.3.2

Sử dụng tính toán symbolic

Ngoài phương pháp đưa về dạng ma trận, ta có thể nhập trực tiếp hệ phương

trình và sử dụng hàm solve.

Dạng 1: solve(’phương trình’,’biến’)

Ví dụ 2.3.4. >> solve(’x^2+2*x+a’,’x’)

ans =

– (1 – a)^(1/2) – 1

(1 – a)^(1/2) – 1

>> solve(’x^2+2*x+a’,’a’)

ans =

– x^2 – 2*x

Dạng 2: solve(’phương trình thứ 1’,…,’phương trình thứ n’,’biến thứ 1’,…,’biến

thứ n’)

Ví dụ 2.3.5. >> S=solve(’x^2-3*x+y’,’y-2+8*x+2*a’,’x’,’y’)

S =

x: [2×1 sym]

y: [2×1 sym]

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Kiến Thức Chung

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button